عنوان : حل عددی برخی مسائل معکوس مشتقات جزئی با استفاده از شبکه عصبی کولموگروف-آرنولد (KAN)
استاد راهنما: دکتر علی ذاکری
ارزیاب داخلی : دکتر جواد کوشکی
ارزیاب خارجی : دکتر حمید مسگرانی
تاریخ: چهارشنبه 13 اسفند ماه 1404 - ساعت 10:00
چکیده(فارسی):
ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﭘﺎﻳﺎﻥ ﻧﺎﻣﻪ، ﺑﻪ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﻭ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﻣﺒﺘﻨﻲ ﺑﺮ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻞ ﺟﺰﺋﻲ ﺑﺎ ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ ﺑﺪﻭﺿﻌﻲ ﺫﺍﺗﻲ ﺍﻳﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﭘﺮﺩﺍﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ ﺍﺳﺖ. ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺩﺭ ﺑﺴﻴﺎﺭﻱ ﺍﺯ ﻛﺎﺭﺑﺮﺩﻫﺎﻱ ﻋﻠﻤﻲ ﻭ ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻣﻄﺮﺡ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ، ﺍﻣﺎ ﺑﻪ ﺩﻟﻴﻞ ﺣﺴﺎﺳﻴﺖ ﺷﺪﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﻮﻳﺰ ﺩﺍﺩﻩ ﻫﺎ ﻭ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﻧﮕﺎﺷﺖ ﻭﺍﺭﻭﻥ، ﺣﻞﻋﺪﺩﻱ ﺁﻥ ﻫﺎ ﺑﺎ ﭼﺎﻟﺶ ﻫﺎﻱ ﺍﺳﺎﺳﻲ ﻫﻤﺮﺍﻩ ﺍﺳﺖ. ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﭘﮋﻭﻫﺶ، ﺍﺑﺘﺪﺍ ﻣﻨﺸﺄ ﺑﺪﻭﺿﻌﻲ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺑﻪ ﺻﻮﺭﺕ ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﺷﺪﻩ ﻭ ﻧﺸﺎﻥ ﺩﺍﺩﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﻛﻪ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻭ ﺷﺪﺕ ﺑﺪﻭﺿﻌﻲ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻪ ﻧﻮﻉ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺣﺎﻛﻢ )ﺗﻜﺎﻣﻠﻲ ﻳﺎ ﺑﻴﻀﻮﻱ( ﻭﺍﺑﺴﺘﻪ ﺍﺳﺖ.ﺩﺭ ﺍﺑﺘﺪﺍ، ﻛﻠﻴﺎﺕ ﻣﻮﺭﺩ ﻧﻴﺎﺯ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪﻩ ﻭ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﺎﻳﻪ ﺍﻱ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺑﺪﻭﺿﻌﻲ، ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﺳﺎﺯﻱ، ﻓﻀﺎﻫﺎﻱ ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻭ ﻧﻘﺶ ﻋﻤﻠﮕﺮﻫﺎﻱ ﻫﻤﻮﺍﺭﻛﻨﻨﺪﻩ ﺩﺭ ﺗﺸﺮﻳﺢ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺩ. ﺳﭙﺲ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﻣﻴﺎﻥ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻞ ﺟﺰﺋﻲ ﻭ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ،ﺑﻪ ﻭﻳﮋﻩ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺣﺮﺍﺭﺕ، ﻣﻮﺝ ﻭ ﭘﻮﺍﺳﻮﻥ، ﻣﻮﺭﺩ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﻗﺮﺍﺭ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﺩ. ﺩﺭ ﺍﺩﺍﻣﻪ، ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺩﻗﻴﻖ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﻣﻨﺘﺨﺐ ﺍﻧﺠﺎﻡ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﻧﺸﺎﻥ ﺩﺍﺩﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩﻛﻪ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺣﺮﺍﺭﺕ، ﻫﻤﻮﺍﺭﻛﻨﻨﺪﮔﻲ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻧﻴﻢ ﮔﺮﻭﻩ ﺣﺮﺍﺭﺗﻲ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺑﺪﻭﺿﻌﻲ ﺷﺪﻳﺪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ، ﺩﺭ ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﻣﻮﺝ، ﺑﺪﻭﺿﻌﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺍﺯ ﺟﻨﺲ ﻧﺎﻣﻌﻴﻨﻲ ﺍﻃﻼﻋﺎﺗﻲ ﻭ ﻣﺤﺪﻭﺩﻳﺖ ﺩﺍﺩﻩ ﻫﺎﻱ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﺍﺳﺖ. ﺩﺭ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﻮﺍﺳﻮﻥ ﻧﻴﺰ ﻫﻤﻮﺍﺭﻛﻨﻨﺪﮔﻲ ﻣﻜﺎﻧﻲ ﻋﻤﻠﮕﺮ ﻻﭘﻼﺳﻴﻦ ﻣﻮﺟﺐ ﺍﻓﺖ ﻃﻴﻔﻲ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ﺍﻱ ﻭ ﺣﺴﺎﺳﻴﺖ ﺑﺎﺯﺳﺎﺯﻱ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻧﻮﻳﺰ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺩ. ﺍﻳﻦ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻫﺎ ﭼﺎﺭﭼﻮﺑﻲ ﻧﻈﺮﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﺍﺭﺯﻳﺎﺑﻲ ﺭﻭﺵ ﻫﺎﻱ ﻋﺪﺩﻱ ﻓﺮﺍﻫﻢ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ. ﺳﭙﺲ، ﺭﻭﺵ ﻫﺎﻱ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺣﻞ ﻋﺪﺩﻱ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﻭ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. ﺍﺑﺘﺪﺍ ﺭﻭﺵ ﻫﺎﻱ ﻛﻼﺳﻴﻚ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﺳﺎﺯﻱ ﻧﻈﻴﺮ ﺗﻴﺨﻮﻧﻮﻑ ﻭ TSVD ﺑﻪ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﻣﻌﻴﺎﺭﻫﺎﻱ ﻣﺮﺟﻊ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﻧﺪ. ﺳﭙﺲ ﺭﻭﺵ ﻫﺎﻱ ﻣﺒﺘﻨﻲ ﺑﺮ ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻋﺼﺒﻲ ﺷﺎﻣﻞ ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻋﺼﺒﻲ ﻛﻼﺳﻴﻚ، ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻋﺼﺒﻲ ﻓﻴﺰﻳﻚ ﺁﮔﺎﻩ ﻭ ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻛﻮﻟﻤﻮﮔﺮﻭﻑ ﺁﺭﻧﻮﻟﺪ ﺑﺮﺍﻱ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺑﻪ ﻛﺎﺭ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. ﺷﺒﻴﻪ ﺳﺎﺯﻱ ﻫﺎﻱ ﻋﺪﺩﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﺮﺍﺭﺕ، ﻣﻮﺝ ﻭ ﭘﻮﺍﺳﻮﻥ ﺍﻧﺠﺎﻡ ﺷﺪﻩ ﻭ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ ﺻﻮﺭﺕ ﻛﻤﻲ ﻭ ﻛﻴﻔﻲ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻋﺪﺩﻱﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺍﮔﺮﭼﻪ ﺭﻭﺵ ﻫﺎﻱ ﻛﻼﺳﻴﻚ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﺳﺎﺯﻱ ﺩﺭ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﻣﺆﺛﺮﻧﺪ، ﺍﻣﺎ ﺑﻪ ﺍﻧﺘﺨﺎﺏ ﺩﻗﻴﻖ ﭘﺎﺭﺍﻣﺘﺮﻫﺎ ﻭﺍﺑﺴﺘﻪ ﺍﻧﺪ. ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻋﺼﺒﻲ ﻓﻴﺰﻳﻚﺁﮔﺎﻩ ﻭ ﻣﺼﻨﻮﻋﻲ ﺩﺭ ﺑﺮﺧﻲ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻋﻤﻠﻜﺮﺩ ﺑﻬﺘﺮﻱ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺭﻭﺵ ﻫﺎﻱ ﻛﻼﺳﻴﻚ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﻣﻲ ﺩﻫﻨﺪ، ﺍﻣﺎ ﻫﻤﭽﻨﺎﻥ ﺩﺭ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﻧﻮﻳﺰ ﻭ ﺗﻨﻈﻴﻤﺎﺕ ﺁﻣﻮﺯﺵ ﺣﺴﺎﺱ ﻫﺴﺘﻨﺪ.ﺩﺭ ﻣﻘﺎﺑﻞ، ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻛﻮﻟﻤﻮﮔﺮﻭﻑ ﺁﺭﻧﻮﻟﺪ ﺩﺭ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﺷﺪﻩ ﺗﻮﺍﻧﺴﺘﻪ ﺍﻧﺪ ﺗﻮﺍﺯﻧﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﻴﺎﻥ ﺩﻗﺖ ﻭ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﺑﺮﻗﺮﺍﺭ ﻛﻨﻨﺪ. ﺍﻳﻦ ﻋﻤﻠﻜﺮﺩ ﺑﺮﺗﺮ ﻧﺎﺷﻲ ﺍﺯ ﺳﺎﺧﺘﺎﺭ ﻣﻌﻤﺎﺭﻱ KAN ﻭ ﻧﻘﺶ ﻫﻤﻮﺍﺭﺳﺎﺯﻱ ﺿﻤﻨﻲ ﻭ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﺤﻠﻲ ﻧﮕﺎﺷﺖ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﺳﺖ. ﺩﺭ ﻧﻬﺎﻳﺖ، ﺍﻳﻦ ﭘﺎﻳﺎﻥ ﻧﺎﻣﻪ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ ﻛﻪ ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎﻱ ﻛﻮﻟﻤﻮﮔﺮﻭﻑ ﺁﺭﻧﻮﻟﺪ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﭼﺎﺭﭼﻮﺑﻲ ﻧﻮﻳﻦ ﻭ ﻛﺎﺭﺁﻣﺪ ﺑﺮﺍﻱ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﻜﻮﺱ ﻣﺒﺘﻨﻲ ﺑﺮ PDE ﻣﻄﺮﺡ ﺷﻮﻧﺪ ﻭ ﭘﻠﻲ ﻣﻴﺎﻥ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﺳﺎﺯﻱ ﻛﻼﺳﻴﻚ ﻭ ﻳﺎﺩﮔﻴﺮﻱ ﻋﻤﻴﻖ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻛﻨﻨﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﺴﻴﺮﻫﺎﻳﻲ ﺑﺮﺍﻱ ﭘﮋﻭﻫﺶ ﻫﺎﻱ ﺁﻳﻨﺪﻩ، ﺍﺯ ﺟﻤﻠﻪ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺎ ﺍﺑﻌﺎﺩ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻭ ﺗﺮﻛﻴﺐ KAN ﺑﺎ ﻗﻴﻮﺩ ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ، ﭘﻴﺸﻨﻬﺎﺩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ.
