نام دانشجو: فاطمه عبدل‌آبادی

    استاد راهنما اول: دکتر دکتر علی ذاکری

   استاد راهنما دوم: دکتر دکتر امیرحسین امیراصلانی

   استاد ارزیاب داخلی: دکتر محمود هادی‌زاده یزدی

   استاد ارزیاب داخلی: دکتر عظیم امین عطایی

   استاد ارزیاب خارجی: دکتر جلیل رشیدی‌نیا

   استاد ارزیاب خارجی: دکتر داود رستمی

 

در این رساله‎‏‏، ابتدا به معرفی معادلات شرودینگر غیرخطی در حالت قطعی‏، کسری و تصادفی و نیز کاربرد این دسته از معادلات در زمینه‌های مختلف می‌پردازیم. با توجه به این‎‏‌که این دسته از معادلات دارای پیچیدگی هستند و محاسبات زیادی را به خود اختصاص می‌دهند‏، همیشه جواب تحلیلی ندارند یا پیدا کردن جواب تحلیلی‏ برای آنها ‏بسیار مشکل است.‏ از طرفی دیگر از این معادلات برای مدل‌سازی و شبیه‌سازی مسائل مختلف در زمینه‌های فیزیک‏، مهندسی برق‏، مهندسی مکانیک و ... استفاده می‌شود‏. لذا حل عددی این معادلات از اهمیت بسیار ویژه‌ای برخوردار است. ‎همچنین برخی روش‌های عددی که برای حل این دسته از معادلات‏ بررسی شده است را مطرح می‌کنیم. در ادامه‏، به حل عددی هر یک از این معادلات می‌پردازیم. به منظور حل عددی معادله شرودینگر غیرخطی قطعی در حالت دو و سه بعدی‏، ابتدا روش ماتریس عملگری مبتنی بر پایه چندجمله‌ای لاگرانژ چندمتغیره را معرفی می‌کنیم و ماتریس مشتق‌گیری پایه لاگرانژ چندمتغیره را به‌دست می‌آوریم‏. سپس مسأله اصلی نسبت به متغیر زمان با روش لیپ-فراگ و نسبت به متغیر مکان‏، با استفاده از ماتریس مشتق‌گیری در پایه چندجمله‌ای لاگرانژ چندمتغیره گسسته می‌شود. همچنین پایداری روش نیز مطالعه شده است. روش جداسازی استرانگ به عنوان یکی از روش‌های بسیار موفق در خطی‌سازی معادلات غیرخطی‏، برای حل عددی معادلات شرودینگر بسیار پرکاربرد است‏. اهمیت این روش به این دلیل است که با به کارگیری روش جداسازی‏، مسأله اصلی تبدیل به دو زیرمسأله خطی و غیرخطی می‌شود. زیرمسأله غیرخطی با توجه به ویژگی پایستگی بار معادله شرودینگر‏، جواب تحلیلی دارد. لذا فقط زیرمسأله خطی گسسته‌سازی می‌شود. از این رو‏، برای حل عددی معادلات شرودینگر غیرخطی جفت‌شده از روش جداسازی استرانگ استفاده می‌کنیم. برای حل معادلات شرودینگر غیرخطی جفت‌شده مکان-کسری‏، دو روش عددی را به کار می‌گیریم. در روش اول‏، با به کارگیری روش جداسازی استرانگ‏، زیرمسأله خطی نسبت به متغیر زمان با روش نقطه میانی و در جهت مکان با روش شبه-طیفی فوریه گسسته می‌شود. در روش دوم‏، گسسته‌سازی زیرمسأله خطی در جهت مکان با ترکیب روش تفاضلات متناهی فشرده و روش انتقال ماتریسی انجام می‌شود. در هر دو روش ارائه‌شده‏، پایداری‏، همگرایی و قانون پایستگی بار نیز بررسی شده است. همچنین الگوریتم هر دو روش برای مسأله دو بعدی ارائه شده است. همچنین به منظور حل عددی معادلات شرودینگر غیرخطی جفت‌شده تصادفی‏، ابتدا روش جداسازی استرانگ استفاده می‌شود. سپس جواب تحلیلی زیرمسأله غیرخطی تصادفی را محاسبه می‌کنیم. زیرمسأله خطی را در جهت زمان با روش نقطه میانی و نیز در جهت مکان با روش تفاضلات متناهی فشرده گسسته می‌کنیم. پیرامون پایداری روش و قانون پایستگی بار نیز تحقیق شده است. در تمام روش‌های ارائه‌شده‏، چند مثال عددی به منظور تایید نتایج تحلیلی به‌دست آمده‏ و دقت، کارآیی و عملکرد روش اجرا شده است